ARKSİNUS KANUNU : K. MERIH

Arksinus Kanunu veya Beklenen Değer Ne Kadar Beklenir

Doç. DR. Kutlu MERİH

Finans dünyasında garip bir şekilde bazı oyuncular uzunca bir süre kayıpta kalırken bazıları da uzunca bir süre kazanırlar. Bu uzunca süre kazanmayı kendi finansal becerilerine yorumlar ve becerikli olanın borsada kazanabileceği efsanesi yayılır. Kaybedenler ise şansız olduklarını ve bunun sıfır toplamlı bir oyun olduğu için kısa bir süre sonra şanslarının döneceğini düşünürler. Ne var ki iki taraf ta yanılmaktadır.  Herhangi bir oyunun sıfır toplamlı olması yani kaybın ve kazancın eşit olasılıklı olması kaybın ve kazancın kısa bir sürede eşitleneceği ve toplam kazancın sıfırlanacağı anlamına gelmez.

 Sıfır Toplamlı Oyunda Beklenen Değer

Sıfır toplamlı oyunların en basit örneği kaybın ve kazancın eşit ½ olasılıklı olduğu yazı tura oyunudur. Finansal matematiğe hakim olan konvansiyonel inanışa göre taraflar yeterli bir sermaye ile bu oyunu oynadıklarında kayıplar ve kazançlar kısa bir sürede eşitlenecek ve istatistik oyunun kazanan ve kaybedeni olmayacaktır. İşte bu büyük bir yanılgıdır ve eşit ihtimalli ve sıfır toplamlı bu tür oyunlarda kazanan nerede ise daima kazanır ve kaybeden daima kaybeder. Yani kazanç ve kayıp sıfır etrafında dalgalanmayacaktır. Bir kere kazanç ve kayıp oluştuktan sonra durumun tekrar eşitlenmesi nerede ise inanılmayacak kadar uzun bir süre gerektirir. Bu olguya rasgele yürüyüş süreçlerinde “arksinus kanunu” adı verilir ve matematik formülasyonu 1940 larda asrın matematik dehalarından Paul Henry Levy tarafından geliştirilmiştir. Bu kanun istatistik alternatifleri olan büyük sayılar kanunu ve merkez limit teoremine olan inancı yerle bir eder. Bir çok finansal analizin temelini oluşturan rasgele yürüyüş teorisinin temel bulgularından biri olmasına karşılık gereken ilgiyi görmemiştir.

Matematik olarak yazı-tura gibi sıfır toplamlı oyunlarda süreç başlangıç noktasına veya herhangi bir noktaya sonsuz kere dönecektir. Ama bu dönüşler arasında geçen süre dağılımının bir matematik modeli vardır ve bu modelin adı “arksinus  kanunu” dur. Bu kanuna göre başlangıç konumuna dönmek garanti olmakla birlikte bunun gerçekleşmesi için çok uzun süreler beklemek gerekebilir. Diğer bir deyişle yazı-tura gibi sıfır toplamlı bir oyunda bile oyunda kalabilmek için ciddi bir başlangıç sermayesi gerekecektir.

Arksinus kanunu Matematiği

Şİmdi olayın biraz da matematiğine eğilirsek, bir n anına kadar elde edilen toplam kazanç

C(n)=TOPLAM(i=1,n) x(i)

ile verilir. Yani toplam getiri simetrik olasılıklı rasgele değişkenlerin toplamıdır. Burada ödemelerin 1 veya a miktarında olması modeli etkilemez ama oyunu süresini (n) etkiler. Buradaki C(n) değerine genel olarak Rasgewle Yürüyüş – Random Walk adı verilir ve matematik istatistiğin ilginç konularından biridir. Şimdi C(n) değerine istatistiğin Büyük Sayılar Kanunu ve Merkez Limit Teoremi gibi bazı tekniklerini uygulayalım. Buna göre C(n) beklenen değeri oyun simetirk olduğundan sıfır olmalıdır.

E(C(n))=0

Buna karşılık uygulamada C(n) sıfır etrafında büyük ölçüde dalgalanır ve önemli olarak biraz matematik ile C(n) varyans ve standart sapması ;

Var(C(N)) = n  ; Std(C(n)) = sqrt(n)

Olarak elde eldir. Bu standart sapma finans matematiğindeki meşhur zamanın karkeökü formülüdür. Finans dünyasında ilk defa Bachelier (1919) tarafından keşfedilmiş fakat uzun süre matematikçi Kolmogorov (1921) ve P. Henry Levy (1939) tarafından tekrar gündeme getirilinceye kadar önemi anlaşılamamıştır. Bu kanuna göre süreç devam ettikçe C(n) toplam getirisi o etrafında sqrt(n) değerinde bir standart sapma ile dalgalanacaktır. Yani süreç uzadıkça C(n) dalgalanma aralığı n adımının karekökü ile orantılıdır. Aşağıdaki 10.000 adımlık grafik bu durumu oldukça açıklamaktadır.

Burada örneğin kırmızı oyun bir süre para kaybetmekte sonra bir süre sıfıra dönüp uzun bir süre tekrar para kaybetmeye devam etmektedir. Şimdi matematik sorun sürecin sıfır değerine ne sıklıkta döneceği ve bunun olasılığının ne olduğudur. Sıfır toplamlı oyun varsayımını kabul edenler için bu durum sık olacaktır ve olasılığı da ½ dir. Ama gerçek matematik durumu farklı özetler. Pek da basit olmayan matematik teknikler n sonsuza giderken bu olasılığı

 

Olarak verir. Bu olasılığın kumulatif dağılım fonksiyonu CDF bir arksinus fonksiyonu olduğundan bu olaya “arksinus kanunu” adı verilir. BU kanuna göre olasılık o ve 1 değerleri civarında tepe yapmaktadır. Yani tekrarlar ya çok hızlı yada çok yavaş olacaktır. Yani kazanç veya kayıp turlarından çıkış oldukça uzun bir zaman alabilir. İşin daha da ilginci  bu dağılımda geriye dönüş süresinin beklene değeri sonsuzdur. Yani süreç bir kere kazanma veya kaybetme turuna girdiyse orada kalışı sınırsız sürede olabilir.

Bu kanunun Levy versiyonunu matematikkçiler için;

 

Olarak verebiliriz. Burada x sıfır ve bir arasında sınırlıdır ve belirli bir turda kalma süresi oranını belirler.

 

Buradan çıkarılacak sonuç: Eğer kayıp turuna girdiyseniz oyundan çıkın çünkü tekrar kazanç turuna geçmeye ömrünüz yetmeyebilir.

Yazı-Tura Simulasyonu İle Arksinus Kanunu

Arksinus kanunun etkisi sadece anlatmakla anlaşılacak kadar sıradan değildir. Durumun daha net anlaşılması için R yazılımı ile yazı tura oyununu simule eden bir program geliştirdik. Programın oluşturduğu grafiklerden biri ektedir. Her tıklayış farklı bir simülasyon verdiğinden bunlardan ilginç dört görünüm seçtik. Görülebileceği gibi yeşil yatay çizgi beklenen değer kırmızı ve mavi çizgiler standart sapma sınırlarıdır ve bunlar hiç te beklenildiği yerlerde değiller.

Daha büyük görmek için çift tıklayın

Görülebileceği gibi ortalama sıfır değil yüzün üzerindedir ve gerçek inanılır gibi değildir. Kazanç veya kayıp bir kere oluştuktan sonra bir daha geri dönmeye niyeti yok gibidir. Yaptığımız simülasyonlarda getiri sıfır civarına dönse bile burada çok kısa kalabildiğini gördük. Buradan çıkan sonuç şudur. Öncelikle finans matematiği basmakalıp istatistik varsayımların dışında bir anlayışla yeniden ele alınmalıdır. Sıfır toplamlı oyunlarda kayıp ve kazancın eşitleneceği ve net kaybın istatistik olarak sıfırlanacağı bir efsanedir. Bu konu yine RİSKONOMİ AR-GE olarak geliştirdiğimiz, finansal varlıklar için “Spektral Analiz” tekniğinin temelini oluşturacaktır. Spektral analiz tekniğini yine RİSKONOMİ .COM sitesinde “R – SPEKTRAL ANALİZ”  sayfasında bulabileceksiniz.

Kaynaklar

W. Feller,   ”An introduction to probability theory and its applications” , 2 , Wiley  (1971)

F. Spitzer,   ”Principles of random walk” , Springer  (1976)

B.A. Rogozin,   ”The distribution of the first ladder moment and height and fluctuation of a random walk”  Theory Probab. Appl. , 16 : 4  (1971)  pp. 575–595 Teor. Veroyatnost. i Primenen. , 16 : 4  (1971)  pp. 593–613

http://markov.uc3m.es/2006/03/writing-bad-letters-of-recommendation-the-story-of-bachelier-and-levy/

http://www.risklatte.com/Articles_new/Quant_Finance/quant_09.php